Sistemi linearnih jednačina za 9. razred – objašnjenje, primjeri i najčešće greške
9. razred
Sistemi linearnih jednačina su tema kod koje učenici često djeluju sigurno dok rade jednostavne primjere.
Ako vide:
x + y = 5
x - y = 1
mnogi odmah znaju šta treba uraditi.
Problem obično nastane kada jednačine nisu već „pripremljene“ za rješavanje.
Ako treba prvo prebaciti članove, srediti izraze, pomnožiti cijelu jednačinu nekim brojem ili samostalno odlučiti koju nepoznatu je lakše eliminisati, učenik često više ne zna kako da počne.
Zato kod sistema nije dovoljno zapamtiti postupak. Važno je razumjeti šta pokušavamo postići u svakom koraku.
Šta je sistem linearnih jednačina?
Sistem linearnih jednačina sastoji se od dvije ili više jednačina koje imaju iste nepoznate.
Na primjer:
x + y = 7
x - y = 1
Tražimo vrijednosti x i y koje istovremeno zadovoljavaju obje jednačine.
U ovom slučaju rješenje je:
x = 4
y = 3
jer:
4 + 3 = 7
i:
4 - 3 = 1
Dakle, rješenje sistema nije samo jedan broj nego uređeni par vrijednosti koje zadovoljavaju obje jednačine.
Metoda suprotnih koeficijenata (Gausova metoda)
Jedan od najčešćih načina rješavanja sistema je metoda suprotnih koeficijenata.
Uzmimo:
x + y = 7
x - y = 1
Ako saberemo dvije jednačine, +y i -y se poništavaju:
2x = 8
pa je:
x = 4
Sada vrijednost x = 4 vratimo u jednu od početnih jednačina:
4 + y = 7
y = 3
Rješenje je:
x = 4, y = 3
Ideja je jednostavna: pokušavamo eliminisati jednu nepoznatu kako bismo dobili jednačinu sa samo jednom nepoznatom.
Gdje učenici najčešće zapnu?
U praksi se problem često pojavi čim koeficijenti nisu odmah suprotni.
Na primjer:
2x + y = 7
3x + 2y = 12
Ovdje se ništa ne može odmah poništiti.
Učenik treba prepoznati da prvu jednačinu može pomnožiti sa -2:
-4x - 2y = -14
Druga jednačina ostaje:
3x + 2y = 12
Sabiranjem dobijamo:
-x = -2
pa je:
x = 2
Zatim vraćamo x = 2 u prvu jednačinu:
2·2 + y = 7
4 + y = 7
y = 3
Rješenje je:
x = 2, y = 3
Ovdje nije najvažnije zapamtiti „pomnoži prvu sa -2“.
Važno je razumjeti zašto to radimo: želimo da koeficijenti uz jednu nepoznatu postanu suprotni i da se ta nepoznata nakon sabiranja poništi.
Najčešća greška broj 1: učenik čeka da se koeficijenti sami ponište
Ako je sistem:
2x + 3y = 12
x - y = 1
učenik često samo gleda obje jednačine i ne zna šta dalje.
Razlog je što je navikao na primjere u kojima su koeficijenti već +1 i -1.
Kod ozbiljnijih zadataka učenik mora sam napraviti situaciju u kojoj će se jedna nepoznata eliminisati.
Na primjer, drugu jednačinu možemo pomnožiti sa 3:
3x - 3y = 3
Sada uz prvu jednačinu:
2x + 3y = 12
sabiranjem dobijamo:
5x = 15
x = 3
Tek tada nastavljamo dalje.
Najčešća greška broj 2: množi samo jedan član jednačine
Ako učenik želi pomnožiti:
x + 2y = 5
sa 3, mora dobiti:
3x + 6y = 15
Vrlo česta greška je da napiše:
3x + 2y = 5
ili:
3x + 6y = 5
Kada množimo jednačinu nekim brojem, množimo svaki njen član, uključujući i broj sa desne strane znaka jednakosti.
Najčešća greška broj 3: greške sa predznacima
Kod eliminacije jedan minus može promijeniti cijeli zadatak.
Na primjer, ako množimo:
x - 2y = 4
sa -2, dobijamo:
-2x + 4y = -8
Ne:
-2x - 4y = -8
Učenici koji brzaju često promijene znak samo prvom članu, a ostale ostave nepromijenjene.
Zato je korisno nakon množenja još jednom pročitati cijelu novu jednačinu prije sabiranja.
Najčešća greška broj 4: učenik dobije jednu nepoznatu i tu stane
Ako nakon eliminacije dobijemo:
x = 3
zadatak još nije završen.
Sistem ima dvije nepoznate.
Vrijednost x = 3 treba vratiti u jednu od početnih jednačina i izračunati y.
Tek kada imamo obje vrijednosti, imamo potpuno rješenje sistema.
Najčešća greška broj 5: nema provjere
Jedna od najboljih navika kod sistema jednačina je provjera rješenja.
Ako smo dobili:
x = 2, y = 3
i početni sistem je:
2x + y = 7
3x + 2y = 12
provjerimo:
2·2 + 3 = 7
7 = 7
i:
3·2 + 2·3 = 12
6 + 6 = 12
12 = 12
Ako obje jednačine daju tačnu jednakost, rješenje je dobro.
Provjera traje kratko, a može otkriti grešku u predznaku ili računanju koja bi inače prošla neprimijećeno.
Šta ako jednačine nisu lijepo napisane?
Ovo je još jedna situacija u kojoj učenici često izgube sigurnost.
Na primjer:
2x + 5 = y + 9
3y - 4 = x + 8
Prije nego počnemo eliminaciju ili zamjenu, korisno je prvo srediti jednačine.
Prvu možemo zapisati kao:
2x - y = 4
Drugu kao:
-x + 3y = 12
Tek sada sistem izgleda poznatije i možemo odlučiti koji način rješavanja nam je najjednostavniji.
Zato je vrlo važno da učenik razumije da zadatak ne mora odmah izgledati kao:
ax + by = c
Ponekad ga prvo mora dovesti u taj oblik.
Metoda zamjene
Drugi čest način rješavanja je metoda zamjene.
Uzmimo sistem:
x + y = 8
2x - y = 1
Iz prve jednačine možemo izraziti:
y = 8 - x
Zatim to ubacimo u drugu:
2x - (8 - x) = 1
2x - 8 + x = 1
3x = 9
x = 3
Sada:
y = 8 - 3
y = 5
Rješenje je:
x = 3, y = 5
Metoda zamjene je posebno praktična kada je jedna nepoznata već sama ili se može lako izraziti.
Kako odlučiti koju metodu koristiti?
Ne postoji pravilo da svaki sistem mora biti riješen istom metodom.
Ako se koeficijenti lako mogu napraviti suprotnim, metoda eliminacije često je najbrža.
Ako je jedna nepoznata već sama, na primjer:
y = 2x + 1
metoda zamjene je obično prirodnija.
Dobro je da učenik zna obje metode, ali još važnije je da zna prepoznati koja mu u konkretnom zadatku olakšava računanje.
Šta učenik treba stvarno razumjeti?
Kod sistema linearnih jednačina nije dovoljno samo naučiti nekoliko koraka napamet.
Učenik treba znati:
- šta predstavlja rješenje sistema
- kako srediti jednačinu prije rješavanja
- kako odabrati koju nepoznatu eliminisati
- kada pomnožiti jednu ili obje jednačine
- da se pri množenju mora pomnožiti svaki član
- pravilno raditi sa predznacima
- vratiti pronađenu vrijednost i izračunati drugu nepoznatu
- provjeriti rješenje u obje početne jednačine
- odabrati između eliminacije i zamjene
Kada učenik razumije ove korake, sistemi prestaju izgledati kao skup pravila koja treba pamtiti i počinju imati logiku.
Ako sistemi linearnih jednačina stalno prave problem
Ako učenik razumije postupak dok zajedno rješava primjer, ali se izgubi čim dobije malo drugačiji zadatak, obično nije problem samo u sistemima jednačina.
Često se iza toga kriju nesigurnost u radu sa negativnim brojevima, prebacivanju članova, množenju izraza ili običnim linearnim jednačinama.
U takvoj situaciji više koristi ima pronaći tačno na kojem koraku nastaje problem, nego samo zadavati još veći broj sličnih sistema.