MATEMATIČARI

Pitagorina teorema je jedna od onih tema koje učenicima u početku često djeluju jednostavno: naučiš formulu i samo je primjenjuješ. U praksi, problem obično nije sama formula.

Mnogo češće učenik pogriješi zato što ne prepozna koja je stranica hipotenuza, zamijeni katetu i hipotenuzu, zaboravi kvadrirati broj ili ne zna šta uraditi kada treba izračunati katetu, a ne hipotenuzu.

Zato je važno da učenik ne pamti samo formulu, nego da razumije šta nam ona zapravo kaže.

Šta kaže Pitagorina teorema?

Prvo i osnovno - Pitagorina teorema važi samo i isključivo za pravougli trougao.

Ako su a i b katete (kraće stranice trougla), a c hipotenuza (najduža stranica trougla), onda važi:

a² + b² = c²

tj. 

kateta² + kateta² = hipotenuza²

Hipotenuza je uvijek:

• nasuprot pravom uglu
• najduža stranica pravouglog trougla

To je prva stvar koju učenik treba provjeriti prije nego počne računati.

Primjer 1: računamo hipotenuzu

Ako su katete dužine 3 cm i 4 cm:

3² + 4² = c²

9 + 16 = c²

25 = c²

c = 5

Dakle, hipotenuza je duga 5 cm.

Ovaj primjer učenici često nauče napamet, ali je važnije razumjeti postupak nego zapamtiti brojeve 3, 4 i 5.

Primjer 2: računamo katetu

Ako je hipotenuza 13 cm, a jedna kateta 5 cm:

5² + b² = 13²

25 + b² = 169

b² = 144

b = 12

Ovdje učenici često naprave grešku jer automatski sabiraju kvadrate. Kada tražimo katetu, potrebno je oduzimati - jednostavno rješavamo kao jednačinu (pogledajte i članak o Rješavanju linearnih jednačina)

Najčešća greška broj 1: učenik veže slovo za ulogu stranice

U praksi vrlo često vidimo da učenici zapamte formulu:

a² + b² = c²

ali onda nesvjesno zaključe da su a i b uvijek katete, a c uvijek hipotenuza.

To nije pravilo.

Slova mogu biti bilo koja.

Ako je na skici hipotenuza označena slovom a, onda je upravo a hipotenuza, bez obzira na to što je učenik navikao da vidi formulu sa c kao hipotenuzom.

Isto tako, ako stranice nisu označene slovima nego samo dužinama, ili ako su označene nekim drugim slovima, učenik često ne zna kako da počne.

Tada je prvi korak uvijek isti: pogledati gdje je pravi ugao i na osnovu toga odrediti koja je stranica hipotenuza.

Hipotenuza je uvijek stranica nasuprot pravom uglu.

Tek nakon toga se postavlja odnos:

kateta² + kateta² = hipotenuza²

To je mnogo sigurniji način razmišljanja nego oslanjanje na slova a, b i c.

Na primjer, ako su stranice označene sa p, q i r, a q je nasuprot pravom uglu, onda važi:

p² + r² = q²

Ako je hipotenuza označena slovom a, onda može važiti:

b² + c² = a²

Dakle, nije važno kako se stranice zovu, nego koju ulogu imaju u pravouglom trouglu.

Najčešća greška broj 2: pogrešno određena hipotenuza

Učenik često uzme najdužu stranicu kako je nacrtana na slici, ali crtež nije uvijek napravljen potpuno precizno.

Zato se ne treba oslanjati na izgled skice.

Hipotenuza se određuje prema pravom uglu, ne prema tome koja stranica na crtežu izgleda najduža.

Najčešća greška broj 3: zaboravljen kvadrat

Umjesto:

6² + 8² = c²

učenik napiše:

6 + 8 = c

To više nije Pitagorina teorema.

Brojevi se prvo kvadriraju, zatim sabiraju ili oduzimaju, pa se tek na kraju računa korijen.

Najčešća greška broj 4: učenik zna formulu, ali ne zna kada je koristiti

Pitagorina teorema se ne koristi u svakom trouglu.

Mora postojati prav ugao.

Ako trougao nije pravougli, ova formula se ne može direktno primijeniti.

To je jedna od stvari koje učenici često previdje kada brzo rade zadatak.

Kako provjeriti da li je rezultat logičan?

Ako računate hipotenuzu, rezultat mora biti duži od obje katete.

Ako dobijete da je hipotenuza kraća od katete, negdje je napravljena greška.

Takva brza provjera često pomogne učeniku da sam primijeti problem prije nego preda zadatak.

Šta učenik treba stvarno razumjeti?

Za sigurno rješavanje zadataka nije dovoljno samo naučiti:

a² + b² = c²

Učenik treba znati:

• prepoznati pravougli trougao
• pronaći hipotenuzu
• razlikovati oznaku stranice od njene uloge
• odlučiti koju stranicu traži
• pravilno postaviti jednačinu
• koristiti kvadrat i kvadratni korijen
• provjeriti da li dobijeni rezultat ima smisla

Kada se ovi koraci usvoje, većina zadataka iz Pitagorine teoreme postaje mnogo jednostavnija.

Ako Pitagorina teorema stalno pravi problem

Ako učenik razumije primjer kada ga neko objasni, ali samostalno opet griješi, problem često nije u jednoj formuli.

Moguće je da postoje rupe u ranijem gradivu — posebno kod kvadriranja, korjenovanja ili rješavanja jednostavnih jednačina. 

Zato je bolje pronaći tačno gdje nastaje greška nego samo uraditi još deset sličnih zadataka.